Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面邊長都相等，A₁在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AC₁與底面ABC所成角的余弦值等于（　�。�

• A．

  2 2

  3

• B．

  7

  3

• C．

  6

  3

• D．

  5

  3

Answer 1

分析：先求出點(diǎn)A₁到底面的距離A₁O的長度，即知點(diǎn)C₁到底面的距離的長度，再求出AC₁的長度，在直角三角形中求AC₁與底面ABC所成角的正弦，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其余弦值即可．

解答：解：設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面邊長都等于a，如圖，
則AO=

AB

2sin60°

=

a

3

，
又cos∠A₁AC=

AO

AA1

×cos30°=

1

2

，
∴∠A₁AC=60°，∠AA₁C=120°，
在菱形ACC₁A₁中，AC₁=

3

a，
又點(diǎn)C₁到底面ABC的距離等于點(diǎn)A₁到底面ABC的距離A₁O=

a2-( a 3 )2

=

6

3

a，
∴AC₁與底面ABC所成角的正弦值為

6 a 3

3 a

=

2

3

，
∴AC₁與底面ABC所成角的余弦值為

7

3

．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了幾何體的結(jié)構(gòu)特征及線面角的定義，還有點(diǎn)面距與線面距的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力．