Question

（2012•道里區(qū)三模）下列命題中正確的是（　�。�

• A．函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數(shù)
• B．函數(shù)y=2sin(

  π

  6

  -2x)在區(qū)間[0，

  π

  3

  ]上是單調遞增的
• C．函數(shù)y=2sin(

  π

  3

  -x)-cos(

  π

  6

  +x)(x∈R)的最小值是-1
• D．函數(shù)y=sinπx?cosπx是最小正周期為2的奇函數(shù)

Answer 1

分析：A：利用奇函數(shù)的定義域必須關于原點對稱，可得A不正確．
B：由x∈[0，

π

3

]得出

π

6

-2x的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的單調性進行判斷．
C：利用誘導公式化簡函數(shù)的解析式為 y=2sin（

π

3

-x），再根據(jù)正弦函數(shù)的值域求出它的最小值．
D：利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式為

1

2

sin2πx，從而得到函數(shù)的周期性和奇偶性．

解答：解：對于A：由于函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的定義域不關于原點對稱，故它不奇函數(shù)，故A不正確．
B：由x∈[0，

π

3

]得出

π

6

-2x∈（-

π

2

，

π

6

），正弦函數(shù)f（x）=sinx在（-

π

2

，

π

6

）上是增函數(shù)，
函數(shù)y=2sin(

π

6

-2x)在區(qū)間[0，

π

3

]上是單調遞減的，故B錯誤．
C：由于函數(shù)y=2sin(

π

3

-x)-cos(

π

6

+x)=2sin(

π

3

-x)-sin(

π

3

-x)=sin(

π

3

-x)，它的最小值是-1，正確．
D：由函數(shù)y=sinπx•cosπx=

1

2

sin2πx，它是最小正周期為1的奇函數(shù)，故D不正確．
故選C．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的周期性與求法，正弦函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．