Question

某廠在一個空間容積為2000m³的密封車間內(nèi)生產(chǎn)某種化學(xué)藥品．開始生產(chǎn)后，每滿60分鐘會一次性釋放出有害氣體am³，并迅速擴散到空氣中．每次釋放有害氣體后，車間內(nèi)的凈化設(shè)備隨即自動工作20分鐘，將有害氣體的含量降至該車間內(nèi)原有有害氣體含量的r%，然后停止工作，待下一次有害氣體釋放后再繼續(xù)工作．安全生產(chǎn)條例規(guī)定：只有當(dāng)車間內(nèi)的有害氣體總量不超過1.25am³時才能正常進(jìn)行生產(chǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)r=20時，該車間能否連續(xù)正常生產(chǎn)6.5小時？請說明理由；
（Ⅱ）能否找到一個大于20的數(shù)據(jù)r，使該車間能連續(xù)正常生產(chǎn)6.5小時？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 首先計算6.5小時共釋放出6次有害氣體，車間內(nèi)有害氣體總量，根據(jù)有害氣體總量不超過1.25am³ ，可建立不等關(guān)系，進(jìn)而可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 設(shè)r%=0.2+x（x＞0）滿足條件，即要有

1-(0.2+x)6

1-(0.2+x)

≤1.25，利用二項展開式可解．

解答：解：（Ⅰ）∵第一次釋放有害氣體am³，
∴第二次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內(nèi)共有有害氣體（a+ar%）m³，第三次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內(nèi)共有有害氣體[a+（a+ar%）r%]m³，…（2分）
∵6.5小時共釋放出6次有害氣體，且有害氣體的含量逐次遞增，
∴要使該車間能連續(xù)正常生產(chǎn)，在最后一次釋放有害氣體后（凈化之前），車間內(nèi)有害氣體總量不得超過1.25am³，
即必須要有a+ar%+a（r%）²+…+a（r%）⁵≤1.25a，
即a•

1+(r%)6

1-r%

≤1.25a．…（4分）
∵當(dāng)r=20時，

1-(0.2)6

1-0.2

＜

1

1-0.2

=

1

0.8

=1.25，
∴當(dāng)r=20時，該車間能連續(xù)生產(chǎn)6.5小時．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)r%=0.2+x（x＞0）滿足條件，即要有

1-(0.2+x)6

1-(0.2+x)

≤1.25，
即（0.2+x）⁶≥1.25•x．（*）…（8分）
∵（0.2+x）⁶=0.2⁶+6（0.2）⁵x+…＞0.2⁶+6（0.2）⁵x，
要使（*）成立，只要0.2⁶+（0.2）⁵•16x-1.25x≥0即可，…（10分）
∴可取x=

(0.2)6

1.25-6(0.2)5

＞0，
∴取r=20+100•

(0.2)6

1.25-6(0.2)5

，就可使該車間連續(xù)生產(chǎn)6.5小時．…（12分）

點評：本題的考點是函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，主要考查等比數(shù)列模型，關(guān)鍵是理解題意，挖掘本質(zhì)．