Question

設(shè)直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）. 試證拋物線頂點在圓H的圓周上；并求a的值，使圓H的面積最小.

 

Y

 

y2=2px

B

 

 

H

 

X

Q(2p,0)

O

A

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：設(shè)，則其坐標滿足       消去x得        則               因此.       故O必在圓H的圓周上.       又由題意圓心H（）是AB的中點，故             由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且.       從而當a=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.       解法二：       設(shè)，則其坐標滿足       分別消去x，y得       故得A、B所在圓的方程       明顯地，O（0，0）滿足上面方程       故A、B、O三點均在上面方程的表示的圓上.       又知A、B中點H的坐標為       故       而前面圓的方程可表示為       故|OH|為上面圓的半徑R，從而以AB為直徑的圓必過點O（0，0）.       又，       故當a=0時，R2最小，從而圓的面積最小，       解法三：同解法一得O必在圓H的圓周上       又直徑|AB|=       上式當時，等號成立，直徑|AB|最小，從而圓面積最小.       此時a=0.