Question

設(shè)a∈R，f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

（x∈R），
（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)．
（2）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)k，解不等式 f^-1（x）＞log₂

1+x

k

．
（3）設(shè)g（n）=

n

n+1

（n∈N）．當(dāng)f（x）是奇函數(shù)時(shí)，試比較f（n）與g（n）的大�。�

Answer 1

分析：（1）先把解析式變?yōu)閒（x）=

a•2x+a-2

2x+1

=a+

-2

2x+1

，用f（x）+f（-x）=0這一方程求出a的值；
（2）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求出其反函數(shù)，代入不等式 f^-1（x）＞log₂

1+x

k

，其解集需要用參數(shù)k來(lái)表示；
（3）作差，整理后，探究差的符號(hào)，比較出f（n）與g（n）的大�。�

解答：解：（1）f（x）=

a•2x+a-2

2x+1

=a+

-2

2x+1

，
由f（x）+f（-x）=0得a+

-2

2x+1

+a+

-2

2-x+1

=0，
整理得2a=

2(2x+1)

2-x+1

=2，
得a=1，即當(dāng)a=1時(shí)f（x）為奇函數(shù)．
（2）由（1）得f（x）=1+

-2

2x+1

，
令y=1+

-2

2x+1

得2^x+1=

2

1-y

，
即2^x=-

1+y

1-y

，故x=log2

1+y

1-y

，
即 f^-1（x）=log2

1+x

1-x

，
代入不等式得log2

1+x

1-x

＞log₂

1+x

k

，故有k＞1-x整理得
又由于k＞0，故有x＞1-k，又函數(shù)的定義域是[-1，1]，故不等式的解集為[-1，1-k），
（3）f（n）-g（n）=1+

-2

2n+1

-

n

n+1

=1-

2n+2+n×2n+n

(2n+1)(n+1)

=

(2n+1)(n+1)-(3n+2+n×2n)

(2n+1)(n+1)

=

(n×2n+2n+n+1)-(3n+2+n×2n)

(2n+1)(n+1)

=

2n-2n-1

(2n+1)(n+1)

從差的形式看出，分母一定為正，差的符號(hào)由分子的符號(hào)確定，由于n∈N，下對(duì)n的取值進(jìn)行討論，以確定差的正負(fù)
當(dāng)n=0時(shí)，2ⁿ-2n-1=0故f（n）=g（n）
當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ-2n-1=-1故f（n）＜g（n）
當(dāng)n=2時(shí)，2ⁿ-2n-1=-1故f（n）＜g（n）
當(dāng)n=3時(shí)，2ⁿ-2n-1=1故f（n）＞g（n）
當(dāng)n=4時(shí)，2ⁿ-2n-1=7故f（n）＞g（n）
觀察知當(dāng)n≥3時(shí)，總有2ⁿ-2n-1＞0，故當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）＞g（n）
綜上，當(dāng)n=0時(shí)，f（n）=g（n）；當(dāng)n=1或2時(shí)，f（n）＜g（n）；當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）＞g（n）．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是反函數(shù)，綜合考查了利用奇偶性求參數(shù)，求反函數(shù)解不等式，以及作差法比較大小，對(duì)于一些不好利用單調(diào)性比較大小的非常規(guī)題，常用作差的方法通過(guò)研究差的符號(hào)來(lái)比較兩個(gè)數(shù)（或式）的大�。�