Question

【題目】已知橢圓，過點作互相垂直的兩條直線分別交橢圓于點（與不重合）.

（1）證明：直線過定點；

（2）若以點為圓心的圓與直線相切，且切點為線段的中點，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或

【解析】

（1）先設(shè)出直線的方程，利用垂直關(guān)系求出的值即可；

（2）由（1）有直線的方程為，，，求得中點，根據(jù)，求得，再由四邊形的面積為，運用韋達定理和弦長公式，計算可得所求值.

（1）根據(jù)題意有：直線、、斜率均存在.

設(shè)，、

聯(lián)立：，有：，

所以：，.

因為，

所以：，

化簡得：，

所以：，

化簡得：，解得或.

當(dāng)時，過點，則與或重合，不滿足題意，舍去，

所以：，即

所以：直線過定點.

（2）由（1）有：，

則：，，.

如圖所示：

設(shè)線段的中點為，

則：，.

因為以為圓心的圓與直線相切于的中點，

所以：，

又因為：，且與平行，

所以：，

解得或.

由上圖有：四邊形的面積.

①當(dāng)時：，易得：、，

所以：.

②當(dāng)時：

有：，

所以：.

由①②有：或.