【題目】設O為坐標原點,動點M在橢圓C: +y2=1上,過M做x軸的垂線,垂足為N,點P滿足 =
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)設點Q在直線x=﹣3上,且 =1.證明:過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.

【答案】解:(Ⅰ)設M(x0 , y0),由題意可得N(x0 , 0),
設P(x,y),由點P滿足 =
可得(x﹣x0 , y)= (0,y0),
可得x﹣x0=0,y= y0 ,
即有x0=x,y0= ,
代入橢圓方程 +y2=1,可得 + =1,
即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2;
(Ⅱ)證明:設Q(﹣3,m),P( cosα, sinα),(0≤α<2π),
=1,可得( cosα, sinα)(﹣3﹣ cosα,m﹣ sinα)=1,
即為﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1,
解得m= ,
即有Q(﹣3, ),
橢圓 +y2=1的左焦點F(﹣1,0),
由kOQ=﹣ ,
kPF= ,
由kOQkPF=﹣1,
可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F.
【解析】(Ⅰ)設M(x0 , y0),由題意可得N(x0 , 0),設P(x,y),運用向量的坐標運算,結合M滿足橢圓方程,化簡整理可得P的軌跡方程;
span>(Ⅱ)設Q(﹣3,m),P( cosα, sinα),(0≤α<2π),運用向量的數(shù)量積的坐標表示,可得m,即有Q的坐標,求得橢圓的左焦點坐標,求得OQ,PF的斜率,由兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,即可得證.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解斜率的計算公式的相關知識,掌握給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率:斜率公式: k=y2-y1/x2-x1,以及對兩條直線垂直與傾斜角、斜率的關系的理解,了解兩條直線都有斜率,如果它們互相垂直,那么它們的斜率互為負倒數(shù);反之,如果它們的斜率互為負倒數(shù),那么它們互相垂直.

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