Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

e2x

+c（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，c∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間、最大值；
（Ⅱ）試討論函數(shù)y=f（x）-|lnx|零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，f′（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）先討論x的范圍得到求出函數(shù)g（x）的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)法分析其單調(diào)性后，進(jìn)而得到函數(shù)只有最大值，分最大值等于、大于、小于三種情況討論函數(shù)g（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

1-2x

e2x

，
令f′（x）＞0，解得x＜

1

2

，令f′（x）＜0，解得x＞

1

2

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

1

2

)，單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

2

，+∞)，f（x）的最大值為f(

1

2

)=

1

2e

+c
（Ⅱ）令g(x)=f(x)-|lnx|=

x

e2x

+c-|lnx|，
①當(dāng)0＜x＜1時(shí)g(x)═

x

e2x

+c+lnx，所以g′(x)=

1-2x

e2x

+

1

x

=

x-2x2+e2x

xe2x

在0＜x＜1時(shí)，函數(shù)y=e^2x的值域?yàn)椋?，e），函數(shù)y=2x²-x的值域?yàn)?span id="gjzyqp5" class="MathJye">(-

1

8

，1)，
所以在0＜x＜1上，恒有2x²-x＜e^2x，即e^2x+x-2x²＞0，
所以y=g′（x）對(duì)任意x∈（0，1）大于零恒成立，所以g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)x≥1時(shí)，g(x)═

x

e2x

+c-lnx，所以g′(x)=

1-2x

e2x

-

1

x

=

x-2x2-e2x

xe2x

，
顯然在x≥1時(shí)有函數(shù)y=x-2x²=x（1-2x）＜0恒成立，
所以函數(shù)y=x-2x²-e^2x＜0在x≥1時(shí)恒成立，
所以g′（x）＜0對(duì)任意x∈（1，+∞）恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
由①②得，函數(shù)g(x)=

x

e2x

+c-|lnx|在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以g（x）的最大值為g(1)=

1

e2

+c
當(dāng)

1

e2

+c=0，即c=-

1

e2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）-|lnx|有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)

1

e2

+c＞0，即c＞-

1

e2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）-|lnx|有兩個(gè)不等的零點(diǎn)；
當(dāng)

1

e2

+c＜0，即c＜-

1

e2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）-|lnx|沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，是導(dǎo)數(shù)問題比較綜合的應(yīng)用，難度較大，特別是第（Ⅱ）問中分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，一定要引起足夠的重視．