Question

17. 如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形,平面,平面ABCD,

(Ⅰ)求證：A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面

(Ⅱ)求證：平面

(Ⅲ)求二面角的大小(用反三角函數(shù)值表示).

 

Answer 1

本小題主要考查直經(jīng)與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系、二面角及其平面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識(shí)解決立體幾何問(wèn)題的能力。

解法1（向量法）：

以D為原點(diǎn)，以DA，DC,DD₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D- xyz　如圖，則有

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A₁(1,0,2),B₁(1,1,2),C₁(0,1,2),D₁(0,0,2).

(Ⅰ)證明：∵=(-1,1,0),=(-2,2,0),

=(1,1,0),=(2,2,0),

∴,.

∴與平行，與平行，

于是A₁C₁與AC共面，B₁D₁與BD共面。

(Ⅱ)證明：,

,

∴,.

DD₁與DB是平面B₁BDD₁內(nèi)的兩條相交直線，

∴AC⊥平面B₁BDD₁.

又平面A₁ACC₁過(guò)AC,

∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁.

(Ⅲ)解：,,.

設(shè)n=(x₁,y₁,z₁)為平面A₁ABB₁的法向量，

，，

于是y₁=0,取z₁=1,則x₁=2,n=(2,0,1).

設(shè)m(x₂,y₂,z₂)為平面B₁BCC₁的法向量，

，.

于是x₂=0,取z₂=1,則y₂=2,m=(0,2,1).

cos＜m,

∴二面角A-BB₁-C的大小為。

解法2（綜合法）

(Ⅰ)證明：∵D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁,D₁D⊥平面ABCD,

∴D₁D⊥DA,D₁D⊥DC,平面A₁B₁C₁D₁∥平面ABCD,

于是C₁D₁∥CD,D₁A₁∥DA.

設(shè)E,F分別為DA,DC的中點(diǎn)，連結(jié)EF, A₁E,C₁F,

有A₁E∥D₁D,C₁F∥D₁D,DE=1,DF=1.

∴A₁E∥C₁F,

于是A₁C₁∥EF.

由DE=DF=1,得EF∥AC,

故A₁C₁∥AC,

A₁C₁與AC共面。

過(guò)點(diǎn)B₁作B₁O⊥ABCD于點(diǎn)O,則B₁O A₁E,B₁OC₁F,連結(jié)OE,OF,

于是OEB₁A₁,OFB₁C₁,∴OE=OF.

∵B₁A₁⊥A₁D₁,∴OE⊥AD.

∵B₁C₁⊥C₁D₁,∴OF⊥CD.

所以點(diǎn)O在BD上，故D₁B₁與DB共面。

(Ⅱ)證明：∵D₁D⊥平面ABCD,∴D_tD⊥AC,

又BD⊥AC(正方形的對(duì)角線互相垂直)，

D₁D與BD是平面B₁BDD₁內(nèi)的兩條相交直線。

∴AC⊥平面B₁BDD₁.

又平面A₁ACC₁過(guò)AC, ∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BDD₁.

(Ⅲ)解：∵直線DB是直線B₁B在平面ABCD上的射影，AC⊥DB,

根據(jù)三垂線定理，有AC⊥B₁B.

過(guò)點(diǎn)A在平面ABB₁A₁內(nèi)作AM⊥B₁B于M,連結(jié)MC,MO,

則B₁B⊥平面AMC,

于是B₁B⊥MC,B₁B⊥MO,

所以，∠AMC是二面角A-B₁B-C的一個(gè)平面角。

根據(jù)勾股定理，有

,,.

∵OM⊥B₁B,有

,,,,

,

，

二面角A-BB₁-C的大小為.