Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標(biāo)原點到切線l的距離為

10

10

，若x=

2

3

時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b，
當(dāng)x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．①
當(dāng)x=

2

3

時，y=f（x）有極值，則f′（

2

3

）=0，即4a+3b+4=0②
聯(lián)立①②解得a=2，b=-4．
設(shè)切線l的方程為y=3x+m，
由原點到切線l的距離為

10

10

，
則=

|m|

32+1

=

10

10

解得m=±1．
∵切線l不過第四象限，∴m=1，
由于切點的橫坐標(biāo)為x=1，∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，∴c=5．
故a=2，b=-4，c=5．
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4．
令f′（x）=0，得x=-2，x=

2

3

．
當(dāng)x變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下表：

x	[-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	??↑	極大值	??↓	極小值	?↑?

∴f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=13，
在x=

2

3

處取得極小值f（

2

3

）=

95

27

．
又f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值為13，最小值為

95

27

．