Question

袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等．用ξ表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：
（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；
（2）隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
（3）計(jì)分介于20分到40分之間的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“正難則反”的原則，記出事件：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，看出兩個(gè)事件之間的互斥關(guān)系，得到結(jié)果．
（2）得到隨機(jī)變量ξ有可能的取值，計(jì)算出各值對(duì)應(yīng)的概率，列表寫出分布列，代入公式得到數(shù)學(xué)期望．
（3）記出事件“一次取球所得計(jì)分介于（20分）到4（0分）之間”的事件記為C，看出事件所包含的幾種情況，根據(jù)上面的分布列求和即可．

解答：解：（I）解：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是互斥事件，因?yàn)?span id="fdxvn5v" class="MathJye">P(B)=

C 1 5 • C 2 2 • C 1 8

C 3 10

=

1

3

所以P(A)=1-P(B)=1-

1

3

=

2

3

．
（II）由題意ξ有可能的取值為：2，3，4，5.P(ξ=2)=

C 2 2 • C 1 2 + C 1 2 • C 2 2

C 3 10

=

1

30

；P(ξ=3)=

C 2 4 • C 1 2 + C 1 4 • C 2 2

C 3 10

=

2

15

；P(ξ=4)=

C 2 6 • C 1 2 + C 1 6 • C 2 2

C 3 10

=

3

10

；P(ξ=5)=

C 2 8 • C 1 2 + C 1 8 • C 2 2

C 3 10

=

8

15

；
所以隨機(jī)變量ε的概率分布為

ε	2	3	4	5
P	1 30	2 15	3 10	8 15

因此ε的數(shù)學(xué)期望為Eε=2×

1

30

+3×

2

15

+4×

3

10

+5×

8

15

=

13

3

（Ⅲ）“一次取球所得計(jì)分介于（20分）到4（0分）之間”的事件記為C，則
P（C）=P（ε=3）+P（ε=4）=

2

15

+

3

10

=

13

30

點(diǎn)評(píng)：本題第一問也可用下列解法：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A)=

C 3 5 • C 1 2 • C 1 2 • C 1 2

C 3 10

=

2

3

．