Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）-3，且f（1）=1，若當(dāng)x≥2，且x∈N^*時(shí)，不等式f（x）≥（a+2）x-（a+10）恒成立，則實(shí)數(shù)a的范圍是（　　）

A．a(chǎn)≤5

B．a(chǎn)＜5

C．a(chǎn)≥5

D．a(chǎn)＞5

Answer 1

分析：先求出f（x+1）與 f（x）的關(guān)系，用累加法求出f（x）的解析式，不等式等價(jià)變形，利用分離參數(shù)法，再由基本不等式求不等號(hào)右邊式子的最小值，則a應(yīng)小于或等于此最小值．

解答：解：令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0-3，f（0）=-3，
令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）-3=f（x）+2x，
即f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（2）-f（1）=2×1，f（3）-f（2）=2×2，f（4）-f（3）=2×3，…f（x）-f（x-1）=2×（x-1），
累加得：f（x）-f（1）=2[1+2+3+4…+（x-1）]=x²-x，
又f（1）=1，∴f（x）=x²-x+1，
∵x≥2時(shí)，不等式f（x）≥（a+2）x-（a+10）恒成立，
∴x²-x+1≥（a+2）x-（a+10）恒成立，
∴a≤

x2-3x+11

x-1

=（x-1）+

9

x-1

-1
由基本不等式得（x-1）+

9

x-1

-1≥5（當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)，等號(hào)成立），
∴a≤5
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查求參數(shù)的范圍，確定函數(shù)解析式，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．