Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，0），且在點(diǎn)P處有公切線，求f（x），g（x）的表達(dá)式及點(diǎn)P處的公切線方程．

Answer 1

【答案】分析：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，0），求得a，b值，求f（x），g（x）的表達(dá)式；再求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)曲線方程設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，把設(shè)出的切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中表示出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率，由切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率表示出切線方程，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程中即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)和切線的斜率，寫出公切線方程即可．
解答：解：∵函數(shù)f（x）=2x³+ax的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，0）
∴f（2）=2×2³+2a=0∴a=-8
∴f（x）=2x³-8x
∴f′（x）=6x²-8
∴點(diǎn)P處的切線斜率k=f′（2）=6×2²-8=16
∵兩函數(shù)圖象在點(diǎn)P處有公切線
∵g′（x）=2bx
∴g′（2）=4b=16∴b=4
∴g（2）=16+c=0∴c=-16
∴g（x）=4x²-16∴點(diǎn)P處的公切線方程為：y=16（x-2），即16x-y-32=0．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)解析式的求解及常用方法、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．