Question

下列命題中，真命題的序號(hào)有

③④

．（寫出所有真命題的序號(hào)）
①當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx+

1

lnx

≥2；
②函數(shù)f（x）=lg（ax+1）的定義域是{x|x＞-

1

a

}；
③函數(shù)f（x）=e^-xx²在x=2處取得極大值；
④若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，則tanαcotβ=5．

Answer 1

分析：通過特例判斷①的正誤；通過a的符號(hào)判斷②的正誤；利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系判斷③的正誤；利用兩角和與差的三角函數(shù)計(jì)算④判斷正誤即可．

解答：解：對(duì)于①當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，有l(wèi)nx+

1

lnx

≥2，不正確，例如x=

1

2

，左側(cè)是負(fù)數(shù)，不正確；
對(duì)于②函數(shù)f（x）=lg（ax+1）可知ax＞-1，當(dāng)a＞0時(shí)函數(shù)的定義域是{x|x＞-

1

a

}；a＜0時(shí)函數(shù)的定義域是{x|x＜-

1

a

}；
所以②不正確；
對(duì)于③函數(shù)f（x）=e^-xx²，f′（x）=-e^-xx²+2e^-xx，令-e^-xx²+2e^-xx，解得x=2，
當(dāng)x＜2時(shí)導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
當(dāng)x＞2時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)是奇函數(shù)，
所以函數(shù)在x=2處取得極大值；正確．
對(duì)于④若sin（α+β）=

1

2

=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin（α-β）=

1

3

=sinαcosβ-cosαsinβ，
解得sinαcosβ=

5

12

，cosαsinβ=

1

12

，
∴tanαcotβ=5，正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題是綜合題，考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系最值的求法，兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的定義域的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．