Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

，且過點(diǎn)（4，3）．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)P在雙曲線C上，且∠F₁PF₂=90°，求點(diǎn)P到x軸的距離．

Answer 1

分析：（1）通過離心率與點(diǎn)在雙曲線上，得到兩個方程，求出a，b，即可求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用點(diǎn)P在雙曲線C上，且∠F₁PF₂=90°，勾股定理與雙曲線的定義列出方程，利用三角形的面積，求點(diǎn)P到x軸的距離．

解答：解：（1）∵e2=

c2

a2

=1+

b2

a2

=2∴a²=b²
∴雙曲線C：

x2

a2

-

y2

a2

=1…（2分）
將點(diǎn)（4，3）代入得a²=b²=1…（4分）
∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²-y²=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-

2

，0）和F₂（

2

，0）…（6分）
（2）由已知得

|F1P|2+|F2P|2=8 ||F1P|-|F2P||=2

∴|F₁P|•|F₂P|=2…（9分）
所以點(diǎn)P到x軸的距離為

|F1P|•|F2P|

|F1F2|

=

2

2 2

=

2

2

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線方程的求法，雙曲線的簡單性質(zhì)，考查計算能力．