Question

如圖，平面內(nèi)有三個向量：

OA

=

a

、

OB

=

b

、

OC

=

c

，其中

a

與

c

的夾角為30°，

a

與

b

的夾角為120°，

b

⊥

c

，并且|

a

|=|

b

|=1，|

c

|=2

3

，

c

=m•

a

+n•

b

，(m，n∈R)．求：m，n的值．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件，本題是一個根據(jù)利用向量運(yùn)算求參數(shù)題，可通過構(gòu)建方程求m，b的值，由題意其中

a

與

c

的夾角為30°，

a

與

b

的夾角為120°，

b

⊥

c

，可對

c

=m•

a

+n•

b

兩邊分別點(diǎn)乘向量

c

消去n求得m，再將m的值代回，得到

c

=4•

a

+n•

b

，然后兩邊點(diǎn)乘

b

得到n的方程求出n的值

解答：解：由題意得：

a

•

c

=3，

a

•

b

=-

1

2

c

•

b

=0
由

c

=m

a

+n

b

得

c

2=m

a

•

c

+n

b

•

c

即12=m×2

3

×

3

2

，解得m=4
同理，

c

=4•

a

+n•

b

得

c

•

b

=4

a

•

b

+n

b

2
即0=4×（-

1

2

）+n，得n=2
綜上，m=4，n=2

點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題意，通過對向量方程兩邊點(diǎn)乘不同的向量得到m，n的方程從而求得兩個參數(shù)的值，本題采用兩邊點(diǎn)乘向量的技巧得到參數(shù)的方程，是向量中獨(dú)有的運(yùn)算方式，注意總結(jié)其變形原理