Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+x²+x+5（a，b∈R，a＞0）的定義域?yàn)镽．當(dāng)x=x₁時(shí)取得極大值，當(dāng)x=x₂時(shí)取得極小值．
（I）若x₁＜2＜x₂＜4，求證：函數(shù)g（x）=ax²+bx+1在區(qū)間（-∞，-1]上是單調(diào)減函數(shù)；
（II）若|x₁|＜2，|x₁-x₂|=4，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：法一 f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
因?yàn)閒（x）當(dāng)x=x₁時(shí)取得極大值，當(dāng)x=x₂時(shí)取得極小值．
所以f'（x）=ax²+（b-1）x+1=0的兩根為x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（Ⅰ）由題知，f'（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，a＞0
當(dāng)且僅當(dāng)
所以16a+4b＞3＞3（4a+2b），得-＞-1．
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=ax²+bx+1在區(qū)間（-∞，-）上是單調(diào)減函數(shù)，
所以函數(shù)g（x）=ax²+bx+1在區(qū)間（-∞，-1]上是單調(diào)減函數(shù)；
（Ⅱ）因?yàn)榉匠蘟x²+（b-1）x+1=0的兩個(gè)根x₁，x₂（x₁＜x₂），且x₁•x₂=＞0，所以x₁，x₂同號．
又|x₁-x₂|==4，所以（b-1）²=16a²+4a．③
若-2＜x₁＜0，則-2＜x₁＜x₂＜0，則|x₁-x₂|＜2，與|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，則所以4a+1＜2（1-b），
結(jié)合③得（4a+1）²＜4（1-b）²=4（16a²+4a），解得a＞或-a＜．結(jié)合a＞0，得a＞．
所以2（1-b）＞4a+1＞，得b＜．
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，）．
法二 f'（x）=ax²+（b-1）x+1．
（Ⅰ）由題知，f'（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，
當(dāng)且僅當(dāng)
由①得，-b＞2a-．
因?yàn)閍＞0，所以-＞1-．③
由結(jié)合③，得-＞-1．
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=ax²+bx+1在區(qū)間（-∞，-）上是單調(diào)減函數(shù)，
所以函數(shù)g（x）=ax²+bx+1在區(qū)間（-∞，-1）上是單調(diào)減函數(shù)；
（Ⅱ）因?yàn)閤₁•x₂=＞0，所以x₁，x₂同號．
由|x₁|＜2，得-2＜x₁＜2．
若-2＜x₁＜0，則-2＜x₁＜x₂＜0，則|x₁-x₂|＜2，與|x₁-x₂|=4矛盾，
所以0＜x₁＜2，則x₂＞4．
所以得b＜．
又因?yàn)閨x₁-x₂|==4，所以（b-1）²=16a²+4a．
根據(jù)④⑤得得結(jié)合b＜，得b＜；
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，）．
分析：法一 （Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)：f'（x）=ax²+（b-1）x+1．根據(jù)f（x）當(dāng)x=x₁時(shí)取得極大值，當(dāng)x=x₂時(shí)取得極小值，由題知，f'（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，利用根的分布得出關(guān)于a，b的不等關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案；
（Ⅱ）利用方程ax²+（b-1）x+1=0的兩個(gè)根x₁，x₂（x₁＜x₂），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合又|x₁-x₂|=4，得a，b的范圍即可．
法二 （Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)f'（x）=ax²+（b-1）x+1．由題知，f'（x）=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足x₁＜2＜x₂＜4，利用二次方程根的分布得出a，b的不等式組，得-＞-1．最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論．
（Ⅱ）因?yàn)閤₁•x₂=＞0，所以x₁，x₂同號得出兩根的范圍：0＜x₁＜2，則x₂＞4．結(jié)合根的分布得出實(shí)數(shù)b的取值范圍．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，考查計(jì)算能力．