Question

如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值

Answer 1

（Ⅰ）證明略
（Ⅱ）證明略
（Ⅲ）

（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，
所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164850173282.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164850251465.gif" style="vertical-align:middle;" />，為中點(diǎn)，
所以.             ……………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164850329454.gif" style="vertical-align:middle;" />,
所以平面.      ……………4分
（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164849861328.gif" style="vertical-align:middle;" />為正方形，所以為中點(diǎn)，
又為中點(diǎn)，所以為中位線，
所以，           ………………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164850688265.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以平面.      ………………8分
(Ⅲ)解： 因?yàn)閭?cè)面，均為正方形， ，
所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則.
，                            ………………9分
設(shè)平面的法向量為，則有
，， ，
取，得.                                 ………………10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164851140254.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面的法向量為，………11分
，                         ………………12分
因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823164850017349.gif" style="vertical-align:middle;" />是鈍角，
所以，二面角的余弦值為.                 ………………13分