【題目】已知橢圓C1： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，P（﹣2，1）是C1上一點(diǎn)．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設(shè)A，B，Q是P分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，平行于AB的直線l交C1于異于P、Q的兩點(diǎn)C，D，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E．證明：直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形．

【答案】
（1）解：由題意可得e= = ，且a2﹣b2=c2，

將P（﹣2，1）代入橢圓方程可得 + =1，

解得a=2 ，b= ，c= ，

即有橢圓方程為 + =1


（2）解：證明：A，B，Q是P（﹣2，1）分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，

可設(shè)A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），

直線l的斜率為k= ，設(shè)直線l的方程為y= x+t，（t≠0）

代入橢圓x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），

即有△=4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，（t≠0）

x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，

設(shè)直線PD，PE的斜率為k1，k2，

則k1+k2= + = ，

要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，

只需證k1+k2=0，即（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=0，

由y1= x1+t，y2= x2+t，

可得（2﹣x1）（y2﹣1）﹣（2+x2）（y1+1）=2（y2﹣y1）﹣（x1y2+x2y1）+x1﹣x2﹣4

=x2﹣x1﹣（x1x2+tx1+tx2）+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t（x1+x2）﹣4

=﹣（2t2﹣4）+2t2﹣4=0，

則直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形


【解析】（1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和P滿足橢圓方程，解得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)A（﹣2，﹣1），B（2，1），Q（2，﹣1），設(shè)直線l的方程為y= x+t，代入橢圓方程，設(shè)C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），E（﹣x1 ， ﹣y1），運(yùn)用韋達(dá)定理，設(shè)直線PD，PE的斜率為k1 ， k2 ， 要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形，只需證k1+k2=0，化簡(jiǎn)整理，代入韋達(dá)定理，即可得證．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x

（1）試求函數(shù)F（x）=f（x）+f（2x），x∈（﹣∞，0]的最大值；

（2）若存在x∈（﹣∞，0），使|af（x）﹣f（2x）|＞1成立，試求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a＞0，且x∈[0，15]時(shí)，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠家擬在2019年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)過調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷量（即該廠的年產(chǎn)量）（單位：萬件）與年促銷費(fèi)用（）（單位：萬元）滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件. 已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分）.

（1）將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬元表示為年促銷費(fèi)用萬元的函數(shù)；

（2）該廠家2019年的年促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家利潤(rùn)最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司試銷一種成本單價(jià)為500元的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時(shí)銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，又不高于800元．經(jīng)試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，函數(shù)圖象如圖所示．

(1)根據(jù)圖象，求一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的表達(dá)式；

(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)＝銷售總價(jià)－成本總價(jià))為S元．試問銷售單價(jià)定為多少時(shí)，該公司可獲得最大毛利潤(rùn)？最大毛利潤(rùn)是多少？此時(shí)的銷售量是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)， ， 分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則等于（ ）

A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 以上答案均不對(duì)

【答案】B

【解析】根據(jù)雙曲線的定義得到 根據(jù)雙曲線的焦半徑的范圍得到 故結(jié)果為17.

故答案為：B。

【題型】單選題
【結(jié)束】
10

【題目】某中學(xué)學(xué)生會(huì)為了調(diào)查愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別是否有關(guān)，通過隨機(jī)詢問110名性別不同的高中生是否愛好游泳運(yùn)動(dòng)得到如下的列聯(lián)表：由并參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

C. 有的把握認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”

D. 有的把握認(rèn)為“愛好游泳運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 ． （Ⅰ）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)M是直線l上任意一點(diǎn)，過M做圓C切線，切點(diǎn)為A、B，求四邊形AMBC面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)．

（I）求f（0）的值和實(shí)數(shù)m的值；

（II）當(dāng)m=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性，并給出證明；

（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形， ， 為平面外一點(diǎn)，且底面上的射影為四邊形的中心， ， 為上一點(diǎn)， ．

（Ⅰ）若為上一點(diǎn)，且，求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為， 為過定點(diǎn)的兩條直線.

（1）若與拋物線均無交點(diǎn)，且，求直線的斜率的取值范圍；

（2）若與拋物線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，以為直徑的圓過點(diǎn)，求圓的方程.

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