Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x
（1）證明：對一切x∈R，都有f（x）≥1
（2）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極值，從而求出函數(shù)的最值；
（2）根據(jù)（1）的結論可知當x＞0時，x＞ln（x+1），將1，

1

2

，

1

3

，…

1

n

分別代入，然后將同向不等式對應相加，化簡即可求得．

解答：解：（1）由f′（x）=e^x-1=0，得x=0
∵當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)；
當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)
∴[f（x）]_min=f（0）=1
∴x∈R時，f（x）≥1
（2）由（1）可知：當x＞0時，e^x＞x+1，即x＞ln（x+1）
則1＞ln2，

1

2

＞ln(

1

2

+1)，，

1

n

＞ln(

1

n

+1)
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）

點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及利用同向不等式的加法證明不等式，屬于中檔題．