Question

設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)（x，f（x））處的切線的斜率為k（x），且函數(shù)為偶函數(shù)．若函數(shù)k（x）滿足下列條件：①k（-1）=0；②對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函數(shù)k（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根據(jù)g（x）的奇偶性求出b，根據(jù)k（-1）=0，求出，再由對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，解得a、c的值，即得函數(shù)k（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）根據(jù)，即證，把代入要證不等式的左邊化簡即可證得不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax²+bx+c．…（1分）
由為偶函數(shù)，得為偶函數(shù)，顯然有．…（2分）
又k（-1）=0，所以a-b+c=0，即．…（3分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103101729077540301/SYS201311031017290775403018_DA/9.png">對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，
即對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式恒成立．…（4分）
顯然，當(dāng)時(shí)，不符合題意．…（5分）
當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足，
注意到，解得．…（7分）  所以． …（8分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103101729077540301/SYS201311031017290775403018_DA/17.png">，所以．…（9分）
要證不等式成立，
即證．…（10分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103101729077540301/SYS201311031017290775403018_DA/21.png">，…（12分）
所以=．
所以成立．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)的切線斜率，以及用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行
求和，屬于難題．