Question

已知離心率為

6

3

的橢圓C：

x2

a 2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P(

3

，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F₁且不與x軸垂直的直線l交橢圓C于M、N兩點，若

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

（O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離心率為

6

3

的橢圓C：

x2

a 2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P(

3

，1)，建立方程，確定幾何量的值，從而可得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，根據(jù)

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

，可得S△OMN=

2

3

6

，再利用S△OMN=

1

2

|MN|d，求得k的值，即可求得l的方程．

解答：解：（1）依題意，離心率為

6

3

的橢圓C：

x2

a 2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P(

3

，1)．
∴

3

a 2

+

1

b2

=1，且e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

2

3

解得：a²=6，b²=2
故橢圓方程為

x2

6

+

y2

2

=1…（4分）
（2）橢圓的左焦點為F₁（-2，0），則直線l的方程可設(shè)為y=k（x+2）
代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

12k2

3k2+1

，x1•x2=

12k2-6

3k2+1

…（6分）
由

OM

•

ON

=

4 6

3tan∠MON

得：|

OM

|•|

ON

|sin∠MON=

4

3

6

，
∴S△OMN=

2

3

6

…（9分）
又|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

2 6 (1+k2)

3k2+1

，原點O到l的距離d=

|2k|

1+k2

，
則S△OMN=

1

2

|MN|d=

6 (1+k2)

3k2+1

•

|2k|

1+k2

=

2

3

6

解得k=±

3

3

∴l(xiāng)的方程是y=±

3

3

(x+2)…（13分）
（用其他方法解答參照給分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，正確計算三角形的面積是關(guān)鍵．