Question

（2012•江西模擬）如圖，四邊形ABCD中（圖1），E是BC的中點，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

．將（圖1）沿直線BD折起，使二面角A-BD-C為60°（如圖2）
（1）求證：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件得到BD⊥平面AEM；進而通過求邊長得到AE⊥ME；即可得到結(jié)論；
（2）先建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量的坐標，再代入向量的夾角計算公式即可．

解答：解：（1）如圖取BD中點M，連接AM，ME．
∵AB=AD=

2

．
∴AM⊥BD
∵DB=2，DC=1，BC=

5

⇒DB²+DC²=BC²，
所以△BCD是BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中點，∴ME為△BCD的中位線ME

∥ .

.

1

2

CD，
∴ME⊥BD，ME=

1

2

，
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME內(nèi)兩相交于M的直線，
∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，
∴BD⊥AE
∵AB=AD=

2

，DB=2，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AM=

1

2

BD=1，AE2=AM2+ME2-2AM•ME•cos∠AME=1+

1

4

-2×1×

1

2

×cos60°=

3

4

∴AE=

3

2

，
∴AE²+ME²=1=AM²，
∴AE⊥ME=M，
∴BD∩ME，BD?平面BDC，ME?面BDC，
∴AE⊥平面BDC…（6分）
（2）如圖，以M為原點MB為x軸，ME為y軸，建立空間直角坐標系M-xyz，
則由（1）及已知條件可知B（1，0，0），E(0，

1

2

，0)，A(0，

1

2

，

3

2

)，D（-1，0，0），C（-1，1，0），

DA

=(1，

1

2

，

3

2

)，

DC

=(0，1，0)，

AE

=(0，0，-

3

2

)…（8分）
設(shè)平面ACD的法向量為

n

=(x，y，z)
則

n • DA =0 n • DC =0

⇒

x+ 1 2 y+ 3 2 z=0 y=0

令x= 3 ，則z=-2∴ n =( 3， 0，-2) 又∵AE⊥平面BDC∴ AE 為平面BDC的法向量 設(shè)平面BDC與平面ADC所成的角為α， 則cosα=| n • AE | n |•| AE | |= 3 7 • 3 2 = 2 7 7

…（10分）

點評：本題主要考察線面垂直的證明以及二面角的求法．一般在證明線面垂直時，先轉(zhuǎn)化為證明線線垂直．進而得到線面垂直．