Question

已知函數(shù)f(x)=

1-x2

（1） 判斷函數(shù)的奇偶性；
（2） 證明函數(shù)f（x）在[-1，0]為增函數(shù)，并判斷它在[0，1]上的單調(diào)性；
（3） 求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：這道題考查的是函數(shù)最基本的性質(zhì)，第一問是奇偶性的考查，首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱再用定義判斷，第二問是單調(diào)性的證明及判斷，直接套用單調(diào)性的定義及一的結(jié)論即可，第三問是在第二問的基礎(chǔ)上出的，用第二問的結(jié)論即可

解答：解：（1）由1-x²≥0，得，即函數(shù)的定義域?yàn)閤|-1≤x≤1，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又f(x)=

1-x2

，則f(-x)=

1-x2

=f（x）
所以函數(shù)f(x)=

1-x2

是偶函數(shù)．
（2）設(shè)-1≤x₁＜x₂≤0，則f（x₁）-f（x₂）=

1-x12

-

1-x22

=

( 1-x12 - 1-x22 )( 1-x12 + 1-x22 )

1-x12 + 1-x22

=

(1-x12)-(1-x22)

1-x12 + 1-x22

=

x22-x12

1-x12 + 1-x22

=

(x2-x1)(x2+x1)

1-x12 + 1-x22

因?yàn)?1≤x₁＜x₂≤0，所以x₂-x₁＞0，x₂+x₁＜0，

1-x12

+

1-x22

＞0
所以

(x2-x1)(x2+x1)

1-x12 + 1-x22

＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)．
同理可得：函數(shù)f（x）在[0，1]上是減函數(shù)．
（3）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[-1，0]上是增函數(shù)，在[0，1]上是減函數(shù)，
所以當(dāng)x=0時(shí)f（x）可取最大值，
即y_max=f（0）=1

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的單調(diào)性奇偶性及最值，是常考的基本點(diǎn)，只要基本功好，對(duì)函數(shù)性質(zhì)全面地了解，才能做到有的放矢，克服難關(guān)．