Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin(π-x)+2sin(

3π

2

+x)
（1）若x∈[0，π]，求f（x）的值域；
（2）若x₀為函數(shù)y=f（x）的一個零點，求

2cos2 x0 2 -sinx0-1

2 sin(x0+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用誘導(dǎo)公式化簡，整理后另一條兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，設(shè)這個角為t，得到y(tǒng)關(guān)于t的函數(shù)解析式，根據(jù)x的范圍求出t的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域與值域即可求出f（x）的值域；
（2）由x₀為函數(shù)y=f（x）的一個零點，將x=x₀代入函數(shù)y=f（x）中值為0求出tanx₀的值，所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將tanx₀的值代入計算即可求出值．

解答：解：f（x）=2

3

sinx-2cosx=4sin（x-

π

6

），
令t=x-

π

6

，則y=4sint，
∵x∈[0，π]，∴t∈[-

π

6

，

5π

6

]，
則由三角函數(shù)的圖象知f（x）∈[-2，4]；
（2）∵x₀為函數(shù)y=f（x）的一個零點，
∴f（x₀）=4sin（x₀-

π

6

）=2

3

sinx₀-2cosx₀=0，
∴tanx₀=

3

3

，
∴

2cos2 x0 2 -sinx0-1

2 sin(x0+ π 4 )

=

cosx0-sinx0

sinx0+cosx0

=

1-tanx0

1+tanx0

=

1- 3 3

1+ 3 3

=2-

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，函數(shù)的零點，誘導(dǎo)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．