如圖，四棱錐P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PD的中點，又二面角PCDB為45°.

（1）求證：AF∥平面PEC；

（2）求證：平面PEC⊥平面PCD；

（3）設AD=2，CD=2，求點A到平面PEC的距離.

（1）證明：取PC的中點G，連結EG、FG.

∵F是PD的中點，∴FG∥CD，且FG=CD.

而AE∥CD，且AE=CD，

∴EA∥GF，且EA=GF.

故四邊形EGFA是平行四邊形，

從而EG∥AF.

又AF平面PEC，EG平面PEC，

∴AF∥平面PEC.

（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，

∴AD是PD在平面ABCD上的射影.

又CD⊥AD，

∴CD⊥PD，CD⊥AD，

∠PDA就是二面角PCDB的平面角.

∴∠ADP=45°,則AF⊥PD.

又AF⊥CD，PD∩CD=D，

∴AF⊥平面PCD.

由（1），EG∥AF，

∴EG⊥平面PCD.

而EG平面 PEC，∴平面 PEC⊥平面PCD.

（3）解析：過F作FH⊥PC交PC于H，

又平面PEC⊥平面PCD，則FH⊥平面PEC，∴FH為點F到平面PEC的距離.

而AF∥平面PEC，故FH等于點A到平面PEC的距離.

在△PFH與△PCD中，

∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC為公共角，∴△PFH∽△PCD，.

∵AD=2，CD=2，PF=，PC==4，

∴FH=·2=1.

∴點A到平面PEC的距離為1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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