已知頂點為原點的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，與在第一和第四象限的交點分別為.

（1）若△AOB是邊長為的正三角形，求拋物線的方程；

（2）若，求橢圓的離心率；

（3）點為橢圓上的任一點，若直線、分別與軸交于點和，證明：．

 

【答案】

（1）；（2）；（3）證明過程詳見試題解析.

【解析】

試題分析：（1）由△AOB是邊長為的正三角形得到,代入拋物線方程中，可以得到所求拋物線方程為；（2）由可知點的橫坐標(biāo)是，因此可結(jié)合建立關(guān)于的方程為：，解出；（3）利用設(shè)而不求的思想，可先設(shè)三點后代入橢圓方程中，由于的方程為，求出，，那么化簡后得到：.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的右焦點為，依題意得拋物線的方程為

∵△是邊長為的正三角形，

∴點A的坐標(biāo)是，

代入拋物線的方程解得，

故所求拋物線的方程為

（2）∵, ∴ 點的橫坐標(biāo)是

代入橢圓方程解得，即點的坐標(biāo)是

∵ 點在拋物線上，

∴，

將代入上式整理得：，

即，解得

∵ ，故所求橢圓的離心率.

（3）證明：設(shè)，代入橢圓方程得

而直線的方程為

令得.

在中，以代換得

∴ .

考點：圓錐曲線；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P（m，4）到其準(zhǔn)線的距離等于5．
（I）求拋物線G的方程；
（II）如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四點，試證明|AC|•|BD|為定值；
（III）過A、B分別作拋物G的切線l1，l2且l1，l2交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線E的頂點在原點，焦點在x軸上，開口向左，且拋物線上一點M到其焦點的最小距離為
1
4
，拋物E與直ly=k（x+1）（k∈R）相交于A、B兩點．
（1）求拋物線E的方程；
（2）當(dāng)△OAB的面積等
10
時，求k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省桐鄉(xiāng)市高三10月月考文科數(shù)學(xué) 題型：填空題

22．（本題滿分15分）已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點到其準(zhǔn)線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;
 
（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點M,求與面積之和的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省濟(jì)寧市高三第二次月考文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本題滿分18分）已知拋物線C的頂點在原點,焦點在y軸正半軸上,點到其準(zhǔn)線的距離等于5．

（Ⅰ）求拋物線C的方程;

（Ⅱ）如圖,過拋物線C的焦點的直線從左到右依次與拋物線C及圓交于A、C、D、B四點,試證明為定值;

（Ⅲ）過A、B分別作拋物C的切線且交于點M,求與面積之和的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年黑龍江省高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知以向量v=(1, )為方向向量的直線l過點(0, )，拋物線C： (p>0)的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物的準(zhǔn)線上．

（Ⅰ）求拋物線C的方程；

（Ⅱ）設(shè)A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m交直線OB于點N，若

 (O為原點，A、B異于原點)，試求點N的軌跡方程．

 

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