Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足

2x-y+2≥0 x-2y+1≤0 x+y-2≤0

，則目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：先分析出目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的取值即為O（0，0）到平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)距離的平方，再根據(jù)平面區(qū)域得到何時(shí)其取最小值，并求出其值即可．（注意是距離的平方）

解答：解：因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z=x²+y²的取值即為O（0，0）到平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)距離的平方．
而實(shí)數(shù)x，y滿足

2x-y+2≥0 x-2y+1≤0 x+y-2≤0

的平面區(qū)域是如圖中A，B，C三點(diǎn)圍成的三角形區(qū)域．，
由圖得：只有當(dāng)過O作直線x-2y+1=0時(shí)，O（0，0）到平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的距離才最�。�
過O作OD垂直與直線x-2y+1=0．
因?yàn)閨OD|=

|0-0+1|

12+(-2)2

=

1

5

．
∴|OD|²=

1

5

．即目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的最小值是

1

5

．
故答案為：

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃．解決本題的關(guān)鍵在于分析出目標(biāo)函數(shù)z=x²+y²的取值即為O（0，0）到平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)距離的平方．