Question

下列命題中：①函數(shù)，f（x）=sinx+

2

sinx

（x∈（0，π））的最小值是2

2

；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰或直角三角形；③如果正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a ₊ b＞c則

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

；④如果y=f（x）是可導(dǎo)函數(shù)，則f′（x₀）=0是函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取到極值的必要不充分條件．其中正確的命題是（　　）

• A、①②③④
• B、①④
• C、②③④
• D、②③

Answer 1

分析：根據(jù)基本不等式和三角函數(shù)的有界性可知真假，利用題設(shè)等式，根據(jù)和差化積公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推斷出A+B=

π

2

或A=B，則三角形形狀可判斷出．構(gòu)造函數(shù)y=

x

1+x

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可證得結(jié)論；由函數(shù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，我們易判斷對(duì)錯(cuò)．

解答：解：①f（x）=sinx+

2

sinx

≥2

2

，當(dāng)sinx=

2

時(shí)取等號(hào)，而sinx的最大值是1，故不正確；
②∵sin2A=sin2B∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0∴A+B=

π

2

或A=B
∴三角形為直角三角形或等腰三角形，故正確；
③可構(gòu)造函數(shù)y=

x

1+x

，該函數(shù)在（0．+∞）上單調(diào)遞增，a+b＞c則

a

1+a

+

b

1+b

＞

c

1+c

，故正確；
④∵f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，
當(dāng)f′（x₀）=0時(shí)，x₀可能f（x）極值點(diǎn)，也可能不是f（x）極值點(diǎn)，
當(dāng)x₀為f（x）極值點(diǎn)時(shí)，f′（x₀）=0一定成立，
故f′（x₀）=0是x₀為f（x）極值點(diǎn)的必要不充分條件，故④正確；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用基本不等式解題，注意等號(hào)成立的條件，同時(shí)考查了極值的有關(guān)問(wèn)題，屬于綜合題．