Question

三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O在AD的延長(zhǎng)線上，且AD=DO，C′O⊥平面ABOC，AB⊥AC，AB=AC=OC′=1．
（1）判斷直線AA′與BC是否垂直，并說明理由；
（2）求BB′與平面BOC′所成的角；
（3）若

DE

=λ

DB

(0＜λ＜1)，且二面角E-AC′-O的大小為

π

6

，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：建立以直線OC、OB、OC'分別為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩條直線所在的向量，再求出兩個(gè)向量的數(shù)量積進(jìn)而可以判斷兩條直線設(shè)法垂直．
（2）求出平面的法向量以及直線BB′所在的向量，進(jìn)而利用向量的有關(guān)運(yùn)算求出線面角．
（3）設(shè)E（x，y，z），根據(jù)向量關(guān)系求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再求出平面AEC'的法向量與平面AOC'的法向量，然后結(jié)合二面角E-AC'-O的大小為

π

6

，即可求出λ的值．

解答：解：（1）由題意可得：建立以直線OC、OB、OC'分別為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，
則B（0，1，0），O（0，0，0），C'（0，0，1），C（1，0，0），
所以

AA′

=

CC′

=(-1，0，1)，

BC

=(1，-1，0)，
所以

AA′

•

BC

=-1≠0，
∴直線AA'與BC不垂直…（3分）
（2）設(shè)平面BOC'的一個(gè)法向量為

n

=(-1，0，0)，

BB′

=

CC′

=(-1，0，1)，
∴cos?

BB′

，

n

＞=

1

2

=

2

2

，
∴?

BB′

，

n

＞=

π

4

∴BB'與平面BOC'所成的角等于

π

4

…（6分）
（3）設(shè)E（x，y，z），因?yàn)?span id="runefdu" class="MathJye">D(

1

2

，

1

2

，0)，并且

DE

=λ

DB

，
所以(x-

1

2

，y-

1

2

，z)=λ(-

1

2

，

1

2

，0)
∴x=

1

2

-

1

2

λ，y=

1

2

+

1

2

λ，z=0，…（8分）
設(shè)平面AEC'的法向量為

m

=(x′，y′，z′)，
所以

m

⊥

EA

，
因?yàn)?span id="g8ayw7g" class="MathJye">

EA

=(

1

2

+

1

2

λ，

1

2

-

1

2

λ，0)，
所以(

1

2

+

1

2

λ)x′+(

1

2

-

1

2

λ)y′=0．
由

m

⊥

AC′

，并且

AC′

=(-1，-1，1)，所以可得x′+y′-z′=0．
∴當(dāng)x'=λ-1時(shí)，y'=1+λ，z'=2λ，

m

=(λ-1，1+λ，2λ)，
因?yàn)槠矫鍭OC'的一個(gè)法向量為

BC

=(1，-1，0)，二面角E-AC'-O的大小為

π

6

所以|cos?

BC

，

m

＞|=

2

2 6λ2+2

=

3

2

，
可得λ2=

1

9

，
因?yàn)?＜λ＜1，
所以λ=

1

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線垂直、線面角與面面角，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量的有關(guān)知識(shí)解決問題，這對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力有較高的要求．