Question

已知函數的圖象過點，將f（x）的圖象向左平移個單位后得到函數y=g（x）圖象．
（1）求g（x）的表達式，并求出g（x）的最小正周期；
（2）寫出函數g（x）的單調增區(qū)間；
（3）求g（x）在上的值域．

Answer 1

解：（1）把點代入函數f（x）的解析式可得 2==2a，∴a=1．
故 =-2（1+cos2x）+2sin2x+2=4（-cos2x+sin2x）=4sin（2x-）．
將f（x）的圖象向左平移個單位后得到函數y=g（x）=4sin[2（x+）-]=4cos（2x-）．
故函數y=g（x）的最小正周期等于=π．
（2）由 2kπ-π≤2x-≤2kπ，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，
故函數g（x）的單調增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
（3）由（2）可得g（x）在 上 單調地增，在上單調遞減，
故函數g（x）的最大值為g（）=4cos0=4．
又g（-）=4cos（--）=4cos=-2，g（）=4cos=0，
故g（x）的值域為[-2，4]．
分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡f（x）的解析式為4sin（2x-），向左平移個單位后得到函數y=g（x）=4cos（2x-），由此求得函數y=g（x）的最小正周期．
（2）令2kπ-π≤2x-≤2kπ，k∈z，解出x的范圍，即可得到函數g（x）的單調增區(qū)間．
（3）由于g（x）在上 單調地增，在 上單調遞減，故函數g（x）的最大值為g（），最小值為 g（-）和g（）中的較小者，從而得到g（x）的值域．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，余弦函數的定義域、值域，屬于中檔題．