已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,直線l1:x=2,直線l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2,t為常數(shù)),若直線l1,l2與函數(shù)f(x)的圖象以及l(fā)1、l2、y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形(陰影部分)如圖所示.
(1)求a、b、c的值;
(2)求陰影面積S關于t的函數(shù)S(t)的解析式.
(1);(2)
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)二次函數(shù)過點并且最大為16,列方程組解
;(2)定積分的基本思想的核心是“以直代曲”,用“有限”步驟解決“無限”問題,其方法是“分割求近似,求和取極限”,定積分只與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關,與積分變量有關;(3)利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟:一根據(jù)題意畫簡圖;二確定被積函數(shù);三確定積分的上限和下限,并求出交點坐標;四是運用微積分基本定理計算定積分,求出平面圖形的面積;(4)求解時,注意要把定積分與利用定積分計算的曲線圍成圖形的面積區(qū)別開:定積分是一個數(shù)值,可為正,為負,也可以為零,而平面圖形的面積在一般意義上總為正.
試題解析:(1)由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16,則
,解得
6分
∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=-x2+8x. 7分
(2)由,得x2-8x-t(t-8)=0,
∴x1=t,x2=8-t,
∵0≤t≤2,∴直線l2與f(x)的圖象的交點坐標為(t,-t2+8t)由定積分的幾何意義知:
S(t)=
=[(-t2+8t)x-(-+4x2)]
+[(-
+4x2)-(-t2+8t)x]
.
考點:(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)利用定積分求陰影部分的面積
科目:高中數(shù)學 來源:2015屆山東師范大學附屬中學高三第一次模擬考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設隨機變量服從正態(tài)分布
,若
,則
( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆安徽省皖南八校高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知點,則與向量
同方向的單位向量是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆安徽省皖南八校高三第一次聯(lián)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知向量a,b滿足,且關于x的函數(shù),
在R上有極值,則
與
的夾角
的取值范圍為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆安徽省皖南八校高三第一次聯(lián)考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設全集U={-2,-1,1,2,3},集合A={-1,1,2},B={-1,1}則 =( )
A.{1} B.{2} C.{1,2} D. {-1,1}
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆安徽省高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”,即十位數(shù)字,千位數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大,則由1,2,3,4,5可構成不重復的五位“波浪數(shù)”的個數(shù)為________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆安徽省高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設則
( )
A.都不大于 B.都不小于
C.至少有一個不大于 D.至少有一個不小于
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科目:高中數(shù)學 來源:2015屆寧夏銀川市高三9月月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
下列函數(shù)中,在(0,+)上單調(diào)遞增,并且是偶函數(shù)的是( )
A. B.
C.
D.
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