Question

已知二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，直線l1：x＝2，直線l2：y＝－t2＋8t（其中0≤t≤2，t為常數(shù)），若直線l1，l2與函數(shù)f（x）的圖象以及l(fā)1、l2、y軸與函數(shù)f（x）的圖象所圍成的封閉圖形（陰影部分）如圖所示．

（1）求a、b、c的值；

（2）求陰影面積S關于t的函數(shù)S（t）的解析式．

 

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)過點并且最大為16，列方程組解；（2）定積分的基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步驟解決“無限”問題，其方法是“分割求近似，求和取極限”，定積分只與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關，與積分變量有關；（3）利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟：一根據(jù)題意畫簡圖;二確定被積函數(shù)；三確定積分的上限和下限，并求出交點坐標；四是運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積；（4）求解時，注意要把定積分與利用定積分計算的曲線圍成圖形的面積區(qū)別開：定積分是一個數(shù)值，可為正，為負，也可以為零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正．

試題解析：（1）由圖形可知二次函數(shù)的圖象過點（0,0），（8,0），并且f（x）的最大值為16，則

，解得 6分

∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝－x2＋8x． 7分

（2）由，得x2－8x－t（t－8）＝0，

∴x1＝t，x2＝8－t，

∵0≤t≤2，∴直線l2與f（x）的圖象的交點坐標為（t，－t2＋8t）由定積分的幾何意義知：

S（t）＝

＝[（－t2＋8t）x－（－＋4x2）]＋[（－＋4x2）－（－t2＋8t）x]

．

考點：（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）利用定積分求陰影部分的面積