Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)P₀（4，0）出發(fā)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，到定點(diǎn)F（-2，0）的距離與到定直線l：x=-8的距離之比為常數(shù)．
①求點(diǎn)P的軌跡方程；
②在軌跡上是否存在點(diǎn)M（s，t），使得以M為圓心且經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F（-2，0）的圓與直線x=8相交于兩點(diǎn)A、B？若存在，求s的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：①直接代入公式即可求得點(diǎn)P的軌跡方程；
②先把圓與直線x=8相交于兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心M到直線x=8的距離小于圓的半徑|MF|；再借助于①的結(jié)果即可求s的取值范圍．

解答：解：①設(shè)P（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式和點(diǎn)到直線距離公式，依題意有，

(x+2)2+y2

|x+8|

=

4+2

4+8

=

1

2

，化簡(jiǎn)得

x2

16

+

y2

12

=1．
②“圓與直線x=8相交于兩點(diǎn)”當(dāng)且僅當(dāng)圓心M到直線x=8的距離小于圓的半徑|MF|，|s-8|＜|MF|，
由①知|MF|=

1

2

|s+8|，
所以|s-8|＜

1

2

|s+8|，
又由①知-4≤s≤4，
所以8-s＜

1

2

(s+8)，解得

8

3

＜s≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題是橢圓與圓的綜合，解題要求先用軌跡法求軌跡方程，再討論動(dòng)點(diǎn)的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，將方程中數(shù)量的幾何意義應(yīng)用于曲線幾何屬性的量化，將①的結(jié)果自然地應(yīng)用于②的求解．