Question

求滿足下列條件的概率（若是古典概率模型請(qǐng)列出所有基本事件）
（1）若mn都是從集合{1，2，3}中任取的數(shù)字，求函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²有零點(diǎn)的概率；
（2）若mn都是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)字，
①求函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)函數(shù)的概率；
②在區(qū)間[0，4]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x²+y²＞（m-n）²恒成立”的概率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)函數(shù)f（x）有零點(diǎn)為事件A，由于m、n都是從集合{1，2，3}中任取的數(shù)字，依題意得所有的基本事件個(gè)數(shù)為N=9．若函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²有零點(diǎn)，
則△=16m²-16n²≥0，化簡可得m≥n．用列舉法求得事件A所含的基本事件共有6個(gè)，由此可得事件A的概率．
（2）①設(shè)函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)函數(shù)為事件B，依題意得所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域面積為S_Ω=9．則構(gòu)成事件B的區(qū)域

SB

=3，
由此求得事件B的概率．
②設(shè)在區(qū)間[0，4]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，“x²+y²＞（m-n）²恒成立”為事件C，則事件C等價(jià)于“x²+y²＞9”，求得全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω的面積為16，
而事件C所構(gòu)成的區(qū)域B構(gòu)成的區(qū)域面積SC=16-

9

4

π，根據(jù)P（C）=

SC

SΩ

，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)函數(shù)f（x）有零點(diǎn)為事件A，由于m、n都是從集合{1，2，3}中任取的數(shù)字，依題意得
所有的基本事件為（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），
（3，2），（3，3），其中第一個(gè)數(shù)表示m的取值，第二個(gè)數(shù)表示n的取值，即基本事件總數(shù)為N=9．
若函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²有零點(diǎn)，則△=16m²-16n²≥0，化簡可得m≥n．
故事件A所含的基本事件為（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），共計(jì)6個(gè)基本事件，
則p(A)=

6

9

=

2

3

．…（5分）
（2）①設(shè)m、n都是從區(qū)間[1，4]中任取的數(shù)字，設(shè)函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)函數(shù)為事件B，
依題意得，所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)域Ω={(m，n)|

1≤m≤4 1≤n≤4

}，故所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域面積為S_Ω=9．
若函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²在區(qū)間[2，4]上為單調(diào)函數(shù)，則對(duì)稱軸方程為2≤2m≤4，求得1≤m≤2．
則構(gòu)成事件B的區(qū)域

SB

=3，如圖所示（陰影部分表示事件B）．
則p(B)=

3

9

=

1

3

．…（9分）
②設(shè)在區(qū)間[0，4]內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，“x²+y²＞（m-n）²恒成立”為事件C，則事件C等價(jià)于“x²+y²＞9”，
（x，y）可以看成平面中的點(diǎn)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域Ω={（x，y）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈R}，
而事件C所構(gòu)成的區(qū)域B={（x，y）|x²+y²＞9，（x，y）∈Ω }．如圖所示（陰影部分表示事件C）
S_Ω=4×4=16，SC=16-

9

4

π，∴P（C）=

SC

SΩ

=

16- 9π 4

16

=1-

9

64

π． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型、古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，列舉法，是解決古典概型問題的一種重要的解題方法，屬于基礎(chǔ)題．