Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，其重心為G點(diǎn)，E是線段BC₁上一點(diǎn)，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求證：GE∥側(cè)面AA₁BB；
（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）欲證GE∥側(cè)面AA₁B₁B，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證GE與側(cè)面AA₁B₁B 內(nèi)一直線平行，延長(zhǎng)B₁E交BC于F，而GE∥AB₁，GE?側(cè)面AA₁B₁B，AB₁?側(cè)面AA₁B₁B，滿足定理的條件；
（2）過(guò)B₁作B₁H⊥AB，垂足為H，在底面ABC內(nèi)，過(guò)H作HT⊥AF，垂足為T(mén)，連B₁T，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠B₁TH為所求二面角的平面角，在Rt△B₁HT中求出此角的正切值即可．

解答：解：（1）延長(zhǎng)B₁E交BC于F，
∵△B₁EC₁∽△FEB，BE=

1

2

EC₁
∴BF=

1

2

B₁C₁=

1

2

BC，從而F為BC的中點(diǎn)． （2分）
∵G為△ABC的重心，
∴A、G、F三點(diǎn)共線，且=

FG

FA

=

FE

FB1

=

1

3

，
∴GE∥AB₁，
又GE?側(cè)面AA₁B₁B，AB₁?側(cè)面AA₁B₁B，
∴GE∥側(cè)面AA₁B₁B （4分）
（2）在側(cè)面AA₁B₁B內(nèi)，過(guò)B₁作B₁H⊥AB，垂足為H，
∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC．又側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=

3

（6分）
在底面ABC內(nèi)，過(guò)H作HT⊥AF，垂足為T(mén)，連B₁T．由三垂線定理有B₁T⊥AF，又平面B₁GE與底面ABC的交線為AF，
∴∠B₁TH為所求二面角的平面角（8分）
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=

3

2

，
在Rt△B₁HT中，tan∠B₁TH=

B1H

HT

=

2 3

3

（10分）
從而平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan

2 3

3

（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及二面角的度量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題，本題解題的關(guān)鍵是找出二面角的平面角，放在一個(gè)可解的三角形中解出結(jié)果．