Question

設(shè)函數(shù)（提示 ：）

（1）若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2） 若，證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵.

又函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù) ∴f^/ (x) ≥0或f^/(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.若f^/ (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x² +2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

即b≥-2x² -2x = 恒成立,由此得b≥.    

若f^/ (x) ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x² +2x+b≤0,即b≤-(2x²+2x)恒成立，

因-(2x²+2x) 在( - 1，+ ∞)上沒有最小值.

∴不存在實(shí)數(shù)b使f(x) ≤0恒成立.        綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是.

（2）當(dāng)b= - 1時(shí)，函數(shù)f(x) = x² - ln(x+1)

令函數(shù)h(x)=f(x) – x³ = x² – ln(x+1) – x³.

則h^/(x) = - 3x² +2x - .

∴當(dāng)時(shí)，h^/(x)＜0所以函數(shù)h(x)在上是單調(diào)遞減. -----10分

又h(0)=0，∴當(dāng)時(shí)，恒有h(x) ＜h(0)=0,

即x² – ln(x+1) ＜x³恒成立.故當(dāng)時(shí),有f(x) ＜x³_.

∵取則有＜.

【解析】略