已知橢圓C1,雙曲線C2與C1具有相同的焦點,且離心率互為倒數(shù).
①求雙曲線C2的方程;
②圓C:x2+y2=r2(r>0)與兩曲線C1、C2交點一共有且僅有四個,求r的取值范圍;是否存在r,使得順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形?
【答案】分析:①依題意,設雙曲線C2的方程為(a>0,b>0),由雙曲線C2與C1具有相同的焦點,且離心率互為倒數(shù),知,由此可求出雙曲線C2的方程.
②橢圓C1的頂點為A(±4,0)、,雙曲線C2的頂點為M(±1,0),橢圓C1與雙曲線C2的交點為N(±2,±3),.所以圓C與兩曲線C1、C2有且僅有四個交點,再運用曲線的對稱性將問題轉化從而簡化計算.
解答:解:①依題意,設雙曲線C2的方程為(a>0,b>0)
橢圓C1的離心率為,焦點為F(±2,0),
所以,
解得a=1,c=2,
②橢圓C1的頂點為A(±4,0)、,雙曲線C2的頂點為M(±1,0),橢圓C1與雙曲線C2的交點為N(±2,±3),
所以圓C與兩曲線C1、C2有且僅有四個交點,
當且僅當或r>4.
直線y=±x與橢圓C1的交點為,,
因為,且
所以,以O為圓心、|OP|為半徑的圓與兩曲線C1、C2的交點不只四個,不合要求.
直線y=±x與雙曲線C2的交點為,,符合要求,
時,交點有且僅有四個,順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形.
點評:本題是橢圓、雙曲線與圓的綜合,解題要求先用待定系數(shù)法求軌跡方程,再數(shù)形結合討論曲線的幾何性質,第②問關鍵是運用曲線的對稱性將問題轉化從而簡化計算.另外,圓錐曲線的一些數(shù)量關系常用向量表示:設橢圓C1的兩個焦點為F1、F2,動點P滿足,則動點軌跡也是曲線C2
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A.        B.      C.       D.

 

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A.    B.    C.      D.

 

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A.    B.    C.      D.

 

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已知橢圓C1數(shù)學公式,雙曲線C2與C1具有相同的焦點,且離心率互為倒數(shù).
①求雙曲線C2的方程;
②圓C:x2+y2=r2(r>0)與兩曲線C1、C2交點一共有且僅有四個,求r的取值范圍;是否存在r,使得順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形?

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①求雙曲線C2的方程;
②圓C:x2+y2=r2(r>0)與兩曲線C1、C2交點一共有且僅有四個,求r的取值范圍;是否存在r,使得順次連接這四個交點所得到的四邊形是正方形?

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