Question

如圖所示，已知PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，AC與BD交于E點，BD=2，BC=CD=

2

．
（1）取PD的中點F，求證：PB∥平面AFC；
（2）求多面體PABCF的體積．

Answer 1

分析：（1）以AC、AP分別為y、z軸，點A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．欲證PB∥平面ACF，只須證PB∥EF，分別求出向量

PB

、

FE

的坐標，可得

PB

=

1

2

FE

，結(jié)合向量的線性運算法則得PB∥EF，由此可得PB∥平面ACF．
（2）根據(jù)題意算出等邊△ABD和等腰Rt△BCD的面積，從而得到四邊形ABCD的面積S_ABCD=

3

+1，結(jié)合PA=2是四棱錐P-ABCD的高，利用錐體體積公式算出四棱錐P-ABCD的體積，即得多面體PABCF的體積．

解答：解：（1）以AC、AP分別為y、z軸，A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
∵PA=AB=AD=BD=2，BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴△ABD是等邊三角形，且E是BD中點，AC⊥BD，
則A（0，0，0）、B（1，

3

，0）、D（-1，

3

，0）、E（0，

3

，0）、
P（0，0，2）、F（-

1

2

，

3

2

，1）
∵

PB

=（1，

3

，-2），

FE

=（

1

2

，

3

2

，-1），
∴

PB

=

1

2

FE

，可得PB∥EF，
∵PB?平面ACF，EF?平面ACF，∴PB∥平面ACF．
（2）∵△ABD是邊長為2的等邊三角形，∴S_△ABD=

3

4

BD2=

3

又∵△BCD中，BC=CD=

2

且BD=2，
∴△BCD是以BC、CD作為直角邊的等腰直角三角形，可得S_△BCD=

1

2

×BC×CD=1
因此，四邊形ABCD的面積S_ABCD=S_△ABD+S_△BCD=

3

+1
∵PA⊥平面ABCD，得PA是四棱錐P-ABCD的高
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

S_ABCD×PA=

1

3

（

3

+1）×2=

2+2 3

3

即多面體PABCF的體積等于

2+2 3

3

．

點評：本題給出四棱錐的高等于2，底面由邊長為2的正三角形和斜邊長等于2的等腰直角三角形組成的四邊形，證明直線與平面垂直并求錐體的體積．著重考查了利用向量的方法證明線面平行、錐體的體積求法等知識，屬于中檔題．