Question

已知函數(shù)f（x）=3^x-1的反函數(shù)y=f^-1（x），g（x）=log₉（3x+1）
（Ⅰ）求不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)，當(dāng)x∈D時(shí)，求H（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)原函數(shù)f（x）的表達(dá)式將x、y進(jìn)行互換，解出用y表示x的式子，從而得出反函數(shù)f^-1（x）的表達(dá)式，將此表達(dá)式代入題中的不等式：f^-1（x）≤g（x），根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出自變量x的取值范圍；
（Ⅱ）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，將函數(shù)H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)轉(zhuǎn)化為y=log9(3-

2

x+1

)的形式，再討論其內(nèi)層函數(shù)的值域，最后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log₉x的單調(diào)性，得出函數(shù)H（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）由原函數(shù)，令x=3^y-1，得y=log₃（x+1）
故函數(shù)的反函數(shù)為y=f^-1（x）=log₃（x+1），
不等式f^-1（x）≤g（x）化為：log₃（x+1）≤log₉（3x+1）
即：log₉（x+1）²≤log₉（3x+1）
所以有0＜（x+1）²≤3x+1且x＞-1
解這個(gè)不等式組，得0≤x≤1
∴不等式f^-1（x）≤g（x）的解集D=[0，1]
（Ⅱ）H(x)=g(x)-

1

2

f-1(x)=log₉

3x+1

x+1

=log9(3-

2

x+1

)
因?yàn)閤∈D，所以真數(shù)3-

2

x+1

∈[1，2]
可得H（x）的值域?yàn)閇log₉1，log₉2]，
∴H（x）的值域是[0，log₉2]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反函數(shù)、函數(shù)的值域以及函數(shù)與不等式相綜合的問題，屬于中檔題．第二問不讓函數(shù)的值域時(shí)，要注意分清內(nèi)函數(shù)的值域以及外函數(shù)的單調(diào)性，方能不出差錯(cuò)．