Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，底面為矩形，平面，二面角的平面角為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）證明：平面平面；

（3）若，求實(shí)數(shù)的值，使得直線(xiàn)與平面所成角為．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)證明；（2）詳見(jiàn)證明；（3）.

【解析】

（1）建立空間直角坐標(biāo)系, 寫(xiě)出坐標(biāo)，證明與平面的法向量垂直即可；

（2）求出平面與平面的法向量，證明平面與平面的法向量垂直即可；

（3）根據(jù)直線(xiàn)與平面所成角為建立出關(guān)于的方程，從而求出的值.

解：（1）因?yàn)?/span>平面，

所以，

又因?yàn)榈酌?/span>為矩形，

所以，

因?yàn)?/span>，

平面，

所以平面，

所以，

因?yàn)?/span>，且二面角的平面角為，

所以，

故，設(shè)，，

因?yàn)榈酌?/span>為矩形，平面，

故，，

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，

，，

顯然平面的法向量為，

因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面；

（2）由（1）得，，，，

設(shè)平面的法向量為，

故有即

令，則，

同理，可得平面的法向量為，

因?yàn)?/span>，

所以，

所以平面平面；

（3）因?yàn)?/span>，

所以，即，

故，

因?yàn)橹本�(xiàn)與平面所成角為，

所以，

即，

化簡(jiǎn)，解得

因?yàn)?/span>，

所以.