已知i,m,n是正整數(shù),且1<i≤m<n.
(1)證明niPmi<miPni
(2)證明(1+m)n>(1+n)m
分析:(1)先將要證的不等式變形為分別含m,n的式子,再利用排列數(shù)公式,據(jù)不等式的性質(zhì)得證
(2)利用二項(xiàng)式定理再利用(1)的結(jié)論和排列數(shù)和組合數(shù)的關(guān)系得證.
解答:證明:(1)對于1<i≤m有pmi=m••(m-i+1),
p
i
m
mi
=
m
m
m-1
m
m-i+1
m
,
同理
p
i
n
ni
=
n
n
n-1
n
n-i+1
n
,
由于m<n,對整數(shù)k=1,2,i-1,有
n-k
n
m-k
m
,
所以
p
i
n
ni
p
i
m
mi
,即mipni>nipmi
(2)由二項(xiàng)式定理有(1+m)n=
n
i=0
mi
C
i
n
,
(1+n)m=
m
i=0
ni
C
i
m
,
由(1)知mipni>nipmi(1<i≤m<n),
C
i
m
=
p
i
m
i!
C
i
n
=
p
i
n
i!
,
所以,miCni>niCmi(1<i≤m<n).
因此,
m
i=2
mi
C
i
n
m
i=2
ni
C
i
m

又m0Cn0=n0Cm0=1,mCn1=nCm1=mn,miCni>0(1<i≤m<n).
n
i=0
mi
C
i
n
m
i=0
ni
C
i
m

即(1+m)n>(1+n)m
點(diǎn)評:本小題考查排列、組合、二項(xiàng)式定理、不等式的基本知識和邏輯推理能力.
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