Question

已知函數(shù)：
（1）寫出此函數(shù)的定義域和值域；　　　
（2）證明函數(shù)在（0，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）試判斷并證明函數(shù)y=（x-3）f（x）的奇偶性．

Answer 1

（1）解：函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}．
，∴值域為{y|y≠1}．
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，
則：，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴函數(shù)在（0，+∞）上為單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）解：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，
設(shè)，
∵，
∴此函數(shù)為奇函數(shù)．
分析：（1）f（x）=1+，根據(jù)y=≠0可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，通過作差比較f（x₂）與f（x₁）的大小，由函數(shù)單調(diào)性的定義可以證明；
（3）先表示出g（x），求出定義域看是否關(guān)于原點對稱，再判斷g（-x）與g（x）的關(guān)系，由奇偶函數(shù)的定義可以判斷．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，屬基礎(chǔ)題，定義是解決相關(guān)題目的基本方法．