Question

（本小題滿分13分）

已知數(shù)列{}滿足,

（I）寫(xiě)出,并推測(cè)的表達(dá)式；

（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜測(cè) ；(Ⅱ) 見(jiàn)解析。

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的歸納猜想的運(yùn)用，以及數(shù)學(xué)歸納法證明的問(wèn)題你運(yùn)用。

（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111917445278511636/SYS201211191745372851229828_DA.files/image001.png">＝, ＝, ＝,    猜測(cè)

（2）根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟證明，注意要用到假設(shè)。

解： (Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜測(cè)    （4分）  

    (Ⅱ) ①由（Ⅰ）已得當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；        

②假設(shè)時(shí),命題成立，即＝2－,       （6分）

那么當(dāng)時(shí), ＋＋……＋＋2＝2(k＋1)＋1,

且＋＋……＋＝2k＋1－  （8分）

∴2k＋1－＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2＝2＋2－,  ＝2－,                  

即當(dāng)n＝k＋1時(shí),命題成立.                          

根據(jù)①②得n∈N⁺  , ＝2－都成立    （13分）