已知橢圓(>>0)的離心率,連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點,已知點的坐標為( ,0),點(0,)在線段的垂直平分線上,且,求的值.
(1)(2)
解析試題分析:(1)連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4即,在結(jié)合和可解得的值。(2)分析可知直線斜率存在,可設(shè)其方程為,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程,由韋達定理可得根與系數(shù)的關(guān)系,其中一個根為另一個跟為點的橫坐標。根據(jù)在線段的垂直平分線上和可求的值。需注意對為0時的討論。
試題解析:(1)解:由, 1分
得,再由,得 2分
由題意可知, 3分
解方程組 得:
所以橢圓的方程為: 4分
(2)解:由(1)可知.設(shè)點的坐標為,
直線的斜率顯然所在,設(shè)為,則直線的方程為, 5分
于是兩點的坐標滿足方程組,由方程組消去并整理,
得 6分
由得 8分
設(shè)線段是中點為,則的坐標為
以下分兩種情況:
①當時,點的坐標為.線段的垂直平分線為軸,于是
由得 10分
②當時,線段的垂直平分線方程為
令,解得
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓的一個頂點為B(0,4),離心率,直線交橢圓于M,N兩點。
(1)若直線的方程為,求弦MN的長;
(2)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F,求直線方程的一般式。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的焦點為,點,線段的中點在拋物線上. 設(shè)動直線與拋物線相切于點,且與拋物線的準線相交于點,以為直徑的圓記為圓.
(1)求的值;
(2)證明:圓與軸必有公共點;
(3)在坐標平面上是否存在定點,使得圓恒過點?若存在,求出的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知圓的圓心在坐標原點O,且恰好與直線相切.
(1)求圓的標準方程;
(2)設(shè)點A為圓上一動點,AN軸于N,若動點Q滿足(其中m為非零常數(shù)),試求動點的軌跡方程.
(3)在(2)的結(jié)論下,當時,得到動點Q的軌跡曲線C,與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點,求面積的最大值.
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如圖,橢圓過點P(1, ),其左、右焦點分別為F1,F2,離心率e=, M, N是直線x=4上的兩個動點,且·=0.
(1)求橢圓的方程;
(2)求MN的最小值;
(3)以MN為直徑的圓C是否過定點?
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如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.
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給定橢圓C:+=1(a>b>0),稱圓心在原點O,半徑為的圓是橢圓C的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為F(,0),其短軸上的一個端點到F的距離為.
(1)求橢圓C的方程和其“準圓”的方程.
(2)點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過動點P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個交點,且l1,l2分別交其“準圓”于點M,N.
①當P為“準圓”與y軸正半軸的交點時,求l1,l2的方程;
②求證:|MN|為定值.
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已知中心在原點的橢圓C的一個焦點為F(4,0),長軸端點到較近焦點的距離為1,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)為橢圓上不同的兩點.
(1)求橢圓C的方程.
(2)若x1+x2=8,在x軸上是否存在一點D,使||=||?若存在,求出D點的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
拋物線的方程為,過拋物線上一點()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(三點互不相同),且滿足(且).
(1)求拋物線的焦點坐標和準線方程;
(2)設(shè)直線上一點,滿足,證明線段的中點在軸上;
(3)當=1時,若點的坐標為,求為鈍角時點的縱坐標的取值范圍.
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