Question

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)：
①a=

3

2

；②a=1；③a=

3

；建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，
（ I）當(dāng)BC邊上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，a可能取所給數(shù)據(jù)中的哪些值？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（ II）在滿足（ I）的條件下，若a取所給數(shù)據(jù)的最小值時(shí)，這樣的點(diǎn)Q有幾個(gè)？若沿BC方向依次記為Q₁，Q₂，…，試求二面角Q₁-PA-Q₂的大�。�

Answer 1

分析：（ I）建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量PQ，QD的坐標(biāo)，再結(jié)合PQ⊥QD即可求出結(jié)論；
（ II） 由（Ⅰ）知a=

3

2

，此時(shí)x=

1

2

或x=

3

2

，即滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)；再結(jié)合PA⊥平面ABCD即可得到∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角，再代入向量的夾角計(jì)算公式即可．

解答：解：（ I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：
A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
設(shè)Q（a，x，0）（0≤x≤2），…（2分）
∵

PQ

=(a，x，-2)，

QD

=(-a，2-x，0)，
∴由PQ⊥QD得

PQ

⊥

QD

⇒-a2+x(2-x)=0⇒a2=x(2-x)．
∵x∈[0，2]，a²=x（2-x）∈（0，1]…（4分）
∴在所給數(shù)據(jù)中，a可取a=

3

2

和a=1兩個(gè)值．…（6分）
（ II）  由（Ⅰ）知a=

3

2

，此時(shí)x=

1

2

或x=

3

2

，即滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，…（8分）
根據(jù)題意，其坐標(biāo)為Q1(

3

2

，

1

2

，0)和Q2(

3

2

，

3

2

，0)，…（9分）
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．…（10分）
由cos?

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 •AQ2

| AQ1 |×| AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，
得∠Q₁AQ₂=30°，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30°．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察直線與平面所成的角．解決本題第一問(wèn)的關(guān)鍵在于結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到a可取a=

3

2

和a=1兩個(gè)值．