Question

已知函數(shù)f（x）=-x|x|+px．
（Ⅰ）當(dāng)p=2時(shí)，畫出函數(shù)f（x）的一個(gè)大致的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 當(dāng)p=2時(shí)，f（x）=-x|x|+2x=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

，可畫出函數(shù)f（x）的大致的圖象，從而可得單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，則方程-x²+px-2px²-px+2x²+x-1=0在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有解，即方程2p=-(

1

x

)2+

1

x

+1在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有解，求出右邊函數(shù)的值域即可得到實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 當(dāng)p=2時(shí)，f（x）=-x|x|+2x=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
函數(shù)f（x）的大致的圖象如圖，單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，1]；　　　　　　　　（3分）
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-（p-1）（2x²+x）-1在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有零點(diǎn)，
則方程-x²+px-2px²-px+2x²+x-1=0在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有解，
即方程2p=-(

1

x

)2+

1

x

+1在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)有解．（5分）
令t=

1

x

，則t∈（0，1]，-t2+t+1=-(t-

1

2

)2+

5

4

∈[1，

5

4

]．
∴1≤2p≤

5

4

，
∴

1

2

≤p≤

5

8

．　　　　　（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，求函數(shù)的值域．