(07年福建卷文)(本小題滿分12分)
如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點.
(I)求證:AB1⊥平面A1BD;
(II)求二面角A-A1D-B的大小.
本小題主要考查直線與平面的位置關系,三面角的大小等知識,考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力
解析:解法一:(I)取BC中點O,連結AO.
∵△ABC為正三角形,∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1,
連結B1O,在正方形BB1C1C中,O、D分別為BC、CC1的中點,
∴B1O⊥BD,
∴AB1⊥BD.
在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B,
∴AB1⊥平面A1BD.
(II)設AB1與A1B交于點C,在平面A1BD中,作GF⊥A1D于F,連結AF,由(I)得AB1⊥平面A1BD,
∴∠AFG為二面A-A1B-B的平面角.
在△AA1D中,由等面積法可求得AF=,
又∵AG==,
∴sin∠AFG=,
所以二面角A-A1D-B的大小為arcsin.
解法二:
(I)取BC中點O,連結AO.
∵△ABC為正三角形,∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1中點O1,以a為原點,的方向為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),
∴
∵
∴⊥⊥,
∴AB1⊥平面A1BD.
(II)設平面A1AD的法向量為n=(x,y,z).
∵n⊥⊥,
∴ ∵ ∴
令z=1得a=(-,0,1)為平面A1AD的一個法向量.
由(I)知AB1⊥A1BD.
∴為平面A1BD的法向量.
cos<n1>===-.
∴二面角A-A1D-B的大小為arccos.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(07年福建卷文)(本小題滿分12分)
數(shù)列{an}的前N項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈N*).
(I)求數(shù)列{an}的通項an;
(II)求數(shù)列{nan}的前n項和 Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(07年福建卷文)(本小題滿分12分)
設函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(I)求f (x)的最小值h(t);
(II)若h(t)<-2t+m對t∈(0,2)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(07年福建卷文)(本小題滿分12分)
甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度成功的概率分別為0.7、0.6,且每次試跳成功與否相互之間沒有影響,求:
(I)甲試跳三次,第三次才能成功的概率;
(II)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率;
(III)甲、乙各試跳兩次,甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.
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