Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

(x∈R)，g(x)=x+

4

x

-

29

9

（x∈（0，2]）
（Ⅰ）求證：f（x）是奇函數(shù)，g（x）在區(qū)間（0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)；
（Ⅱ）若f（m）＜g（x）對任意x∈（0，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 對任意的x∈R，求得f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)．設(shè)0＜x₁＜x₂≤2，求得g(x1)-g(x2)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

＞0，可得g（x）在區(qū)間（0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（Ⅱ）由題意可得f（m）＜g_min（x），即

2m-1

2m+1

＜g(2)=

7

9

，整理得2^m＜8，解指數(shù)不等式求得實(shí)數(shù)m的取值范圍

解答：（Ⅰ） 證明：x∈R，f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，所以f（x）是奇函數(shù)．…（3分）
?x₁，x₂∈（0，2]，當(dāng)0＜x₁＜x₂≤2，g(x1)-g(x2)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，
因?yàn)?＜x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，∴

x1x2-4

x1x2

＜0，
∴g(x1)-g(x2)=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

＞0，故有g(shù)（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在區(qū)間（0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)．…（8分）
（Ⅱ）f（m）＜g（x）對任意x∈（0，2]恒成立，只需f（m）＜g_min（x），即

2m-1

2m+1

＜g(2)=

7

9

，
∵2^m+1＞0，
∴整理得2^m＜8，可得 m＜3，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，3）．…（13分）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，函數(shù)的恒成立問題，屬于基礎(chǔ)題．