Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）已知f（α）=3，且α∈（0，π），求α的值；
（2）當x∈[0，π]時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若對任意的x∈，不等式f（x）＞m-3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由于函數(shù)f（x）==sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2，
∵f（α）=3，且α∈（0，π），∴2sin（2α+）+2=3，解得 sin（2α+）=．
故有 2α+=2kπ+，或 2α+=2kπ+，k∈z．
∴α=．
（2）由 2kπ-≤2α+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤α≤kπ+，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-≤α≤kπ+]，k∈z．
再由 x∈[0，π]，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0 ]、[ π]．
（3）對任意的x∈，≤2x+≤，-≤sin（2x+）≤，1≤f（x）≤2+．
要使f（x）＞m-3恒成立，只要函數(shù)f（x）的最小值大于m-3，故有1＞m-3，m＜4，
故實數(shù)m的取值范圍為（-∞，4）．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x+）+2，再由f（α）=3，且α∈（0，π），求得α的值．
（2）由 2kπ-≤2α+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．再根據(jù)x∈[0，π]，可得函數(shù)f（x）的具體的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）由x∈，可得≤2x+≤，從而求得函數(shù)的值域．要使f（x）＞m-3恒成立，只要函數(shù)f（x）的最小值大于m-3，故有1＞m-3，由此求得實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的恒成立問題，
屬于中檔題．