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已知函數f(x)=2sin2(
π
4
+x)+
3
cos2x-1．
（1）若存在x0∈(0，
π
3
)，使f（x0）=1，求x0的值；
（2）設條件p：x∈[
π
6
，
5π
6
]，條件q：-3＜f(x)-m＜
3
，若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍．
分析：（1）利用降冪公式與輔助角公式可將f（x）化簡為：f（x）=2sin（2x+
π
3
），由f（x0）=1，x0∈（0，
π
3
），利用正弦函數的單調性即可求得x0的值；
（2）p是q的充分條件，則當x∈[
π
6
，
5π
6
]時，-3＜f（x）-m＜
3
恒成立，利用正弦函數的性質可求得f（x）=2sin（2x+
π
3
）∈[-2，
3
]，從而可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）=1-cos（
π
2
+2x）+
3
cos2x-1
=sin2x+
3
cos2x
=2sin（2x+
π
3
）…（3分）
令f（x0）=1，則2sin（2x0+
π
3
）=1，即sin（2x0+
π
3
）=
1
2
，…（4分）
因為x0∈（0，
π
3
），則2x0+
π
3
∈（
π
3
，π），
所以2x0+
π
3
=
5π
6
，解得x0=
π
4
．…（6分）
（2）因為p是q的充分條件，則當x∈[
π
6
，
5π
6
]時，
-3＜f（x）-m＜
3
恒成立，
即m-3＜f（x）＜
3
+m恒成立，
所以m-3＜f（x）min，且m+
3
＞f（x）max．…（8分）
當x∈[
π
6
，
5π
6
]時，2x+
π
3
∈[
2π
3
，2π]，從而sin（2x+
π
3
）∈[-1，
3
2
]，
所以f（x）=2sin（2x+
π
3
）∈[-2，
3
]．…（10分）
由
m-3＜-2
m+
3
＞
3
解得0＜m＜1．
故m 的取值范圍是（0，1）．…（12分）
點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，突出正弦函數的單調性與最值的考查，屬于中檔題．
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（3）是否存在負數x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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